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流体力学基礎

流体力学の基礎：ナビエ-ストークス方程式を直感的に理解する

公開: 2026-03-26更新: 2026-03-26
流体力学の基礎：ナビエ-ストークス方程式を直感的に理解する

流体の運動を記述する方程式として、ナビエ-ストークス方程式（Navier-Stokes equation）があります。この方程式は、流体の速度・圧力の関係を表す偏微分方程式で、流体力学を学ぶうえで避けて通れない式です。この記事では、運動量保存則からスタートして最もよく使われる非圧縮性粘性流体のナビエ―ストークス方程式の導出と各項の物理的意味、そして解析解が存在するケースをいくつか解説します。

ナビエ-ストークス方程式とは

非圧縮性粘性流体に対するナビエ-ストークス方程式は次の形で表されます。

∂u∂t+u⋅∇u=−1ρ∇p+νΔu+f(1)\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \Delta \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f} \tag{1}

ここで各記号の意味は以下のとおりです。

記号意味単位
ρ\rho流体の密度kg/m3\mathrm{kg/m^3}
u\boldsymbol{u}速度ベクトルm/s\mathrm{m/s}
pp圧力Pa\mathrm{Pa}
ν\nu動粘性係数m2/s\mathrm{m^2/s}
f\boldsymbol{f}単位質量あたりの体積力（重力など）m/s2\mathrm{m/s^2}

この式は、流体の単位体積あたりに働く力の釣り合いを表しています。次節で運動量保存則から導出します。

導出

運動量保存則の定式化

流体内に、空間に固定された閉曲面SSをとり、その面要素の面積をdsds、外向き法線ベクトルをnnとします。また、SSに囲まれた内部領域をVVとします。

このとき、運動量保存則により、

「VV 内の流体の運動量の単位時間あたりの増加量は、面 SS を通じた運動量の流入量と、面 SS に働く応力による力積と、VV 内の体積力による力積の和に等しい」

ことが成り立ちます。つまり、

ddt∫Vρu dV=−∫Sρu(u⋅n) dS+∫S(σ⋅n) dS+∫Vρf dV(2)\frac{d}{dt} \int_V \rho \boldsymbol{u} \, dV = -\int_S \rho \boldsymbol{u} (\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}) \, dS + \int_S (\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n}) \, dS + \int_V \rho \boldsymbol{f} \, dV \tag{2}

ここで σ\boldsymbol{\sigma} は応力テンソル、n\boldsymbol{n} は面 SS の外向き単位法線ベクトルです。

ここで各項の意味は以下のとおりです。

項物理的意味
左辺VV内の流体の運動量の単位時間あたりの増加量
右辺第1項面SSを通じた運動量の流入量
右辺第2項面SSに働く応力による力積
右辺第3項VV内の体積力による力積

右辺第1項が負なのは、法線ベクトルn\boldsymbol{n}は外向きを正としているため、面SSを通じたVVへの流入を表すには符号を逆転する必要があるからです。

これを ii 成分で書けば、

ddt∫Vρui dV=−∫Sρui(ujnj) dS+∫Sσijnj dS+∫Vρfi dV(3)\frac{d}{dt} \int_V \rho u_i \, dV = -\int_S \rho u_i (u_j n_j) \, dS + \int_S \sigma_{ij} n_j \, dS + \int_V \rho f_i \, dV \tag{3}

となります。これで、運動量保存則を定式化できました。

ガウスの定理による変換

しかし、このままでは体積分と面積分が混在しており扱いにくいです。そこで、Gaussの定理を利用して面積分を体積分に変換します。

Gaussの定理

∫SAjnj dS=∫V∂Aj∂xj dV\int_S A_j n_j \, dS = \int_V \frac{\partial A_j}{\partial x_j} \, dV

簡単に言えば、VV内でベクトルA\boldsymbol{A}（水の流れのようなイメージ）の湧き出し、吸い込みが発生したら、それと同量が面SSを通過するよね、ということです。

Gaussの定理を用いることで、右辺第1項、第2項は以下のように変形できます。

右辺第1項：Aj=ρuiujA_j = \rho u_i u_jとして

∫Sρui(ujnj) dS=∫V∂ρuiuj∂xjdV(4)\int_S \rho u_i (u_j n_j) \, dS = \int_V \dfrac{\partial \rho u_i u_j}{\partial x_j} dV \tag{4}

右辺第2項：Aj=σijA_j = \sigma_{ij}として

∫Sσijnj dS=∫V∂σij∂xj dV(5)\int_S \sigma_{ij} n_j \, dS = \int_V \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j}\, dV \tag{5}

式(4)(4)、(5)(5)を式(3)(3)に代入すると、

ddt∫Vρui dV=−∫V∂ρuiuj∂xjdV+∫V∂σij∂xj dV+∫Vρfi dV(6)\frac{d}{dt} \int_V \rho u_i \, dV = -\int_V \dfrac{\partial \rho u_i u_j}{\partial x_j} dV + \int_V \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j}\, dV + \int_V \rho f_i \, dV \tag{6}

ここで、左辺について考えてみましょう。

VVは空間内に固定された体積なので、時間微分項は積分の中に入れることができます。さらに、ρui\rho u_iはxxとttの関数ですが、空間内に固定されているので時間微分を偏微分に書き換えても差し支えが無く、

ddt∫VρuidV=∫VdρuidtdV=∫V∂ρui∂tdV(7)\frac{d}{dt} \int_V \rho u_i dV = \int_V \frac{d \rho u_i}{dt} dV = \int_V \frac{\partial \rho u_i}{\partial t} dV \tag{7}

と変形できます。したがって、式(6)(6)を整理すると

∫V(∂ρui∂t+∂ρuiuj∂xj)dV=∫V(∂σij∂xj+ρfi)dV(8)\int_V \left( \frac{\partial \rho u_i}{\partial t} + \dfrac{\partial \rho u_i u_j}{\partial x_j} \right) dV = \int_V \left( \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho f_i \right) dV \tag{8}

と変形できます。

SSはどのように決めてもいいはずので、式(8)が任意のSSで成り立つためには、非積分関数が常に等しいことが必要十分条件となります。したがって、

∂ρui∂t+∂ρuiuj∂xj=∂σij∂xj+ρfi(9)\frac{\partial \rho u_i}{\partial t} + \dfrac{\partial \rho u_i u_j}{\partial x_j} = \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho f_i \tag{9}

が得られます。式(9)(9)は流体の運動方程式と呼ばれます。

連続の式を用いた変形

式(9)(9)の左辺は、積の微分の公式を用いることで連続の式が現れるので、さらにシンプルな形に導けます。

∂ρui∂t+∂ρuiuj∂xj=ui∂ρ∂t+ρ∂ui∂t+ui∂ρuj∂xj+ρuj∂ui∂xj=ui(∂ρ∂t+∂ρuj∂xj)⏟= 0（連続の式）+ρ(∂ui∂t+uj∂ui∂xj)=ρ(∂ui∂t+uj∂ui∂xj)\begin{align} \frac{\partial \rho u_i}{\partial t} + \dfrac{\partial \rho u_i u_j}{\partial x_j} &= u_i \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \frac{\partial u_i}{\partial t} + u_i\frac{\partial \rho u_j}{\partial x_j} + \rho u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j} \notag\\ &= u_i \underbrace{ \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho u_j}{\partial x_j} \right)}_{=\, 0 \text{（連続の式）}} + \rho \left(\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right) \notag\\ &= \rho \left(\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right) \tag{10} \end{align}

式(10)(10)を用いると、流体の運動方程式(9)(9)は

ρ(∂ui∂t+uj∂ui∂xj)=∂σij∂xj+ρfi(11)\rho \left(\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right) = \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho f_i \tag{11}

粘性流体の応力テンソル

続いて、応力テンソルσij\sigma_{ij}に着目します。今は粘性流体を考えているので、応力テンソルは次式で表されます。

σij=(−p+χekk)δij+2μ(eij−13ekkδij)(12)\sigma_{ij} = (-p + \chi e_{kk})\delta_{ij} + 2\mu(e_{ij} - \frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}) \tag{12}

ここで eij=12(∂ui∂xj+∂uj∂xi)e_{ij}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)はひずみ速度テンソル、χ\chi は第2粘性係数（体積粘性係数）、δij\delta_{ij} はクロネッカーのデルタです。式(12)(12)を式(11)(11)に代入して整理すると

ρ(∂ui∂t+uj∂ui∂xj)=∂∂xj((−p+χekk)δij+2μ(eij−13ekkδij))+ρfi=−∂pδij∂xj+∂χekkδij∂xj+∂∂xj(2μeij−23μekkδij)+ρfi=−∂p∂xi+∂χekk∂xi+∂∂xj(2μeij−23μekkδij)+ρfi\begin{align} \rho \left(\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right) &= \frac{\partial }{\partial x_j} \left( (-p + \chi e_{kk})\delta_{ij} + 2\mu(e_{ij} - \frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}) \right) + \rho f_i \notag \\ &= -\frac{\partial p \delta_{ij}}{\partial x_j} + \frac{\partial \chi e_{kk} \delta_{ij}}{\partial x_j} + \frac{\partial }{\partial x_j} \left( 2 \mu e_{ij} - \frac{2}{3} \mu e_{kk} \delta_{ij} \right) + \rho f_i \notag \\ &= -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial \chi e_{kk}}{\partial x_i} + \frac{\partial }{\partial x_j} \left( 2 \mu e_{ij} - \frac{2}{3} \mu e_{kk} \delta_{ij} \right) + \rho f_i \tag{13} \end{align}

両辺をρ\rhoで除して、

∂ui∂t+uj∂ui∂xj=−1ρ∂p∂xi+1ρ∂χekk∂xi+1ρ∂∂xj(2μeij−23μekkδij)+fi(14)\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \chi e_{kk}}{\partial x_i} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial x_j} \left( 2 \mu e_{ij} - \frac{2}{3} \mu e_{kk} \delta_{ij} \right) + f_i \tag{14}

これが粘性流体の運動方程式です。

あと一息です。

粘性係数μ\mu、体積粘性係数χ\chiは一般に温度と圧力に依存しますが、式(1)(1)のナビエ-ストークス方程式の導出においては温度と圧力の変化は小さく、両者はVV内で一定であると仮定します（温度、圧力依存性を無視できない場合はμ\muとχ\chiを温度と圧力に関する何らかの関数として与えて式(14)(14)を解きます）。このとき式(14)(14)において、μ\muとχ\chiは微分の外に出せるので

∂ui∂t+uj∂ui∂xj=−1ρ∂p∂xi+χρ∂∂xi(∂uk∂xk)+μρ∂∂xj(∂ui∂xj+∂uj∂xi−23∂uk∂xkδij)+fi(15)\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\chi}{\rho} \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{\partial u_k}{\partial x_k} \right) + \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial }{\partial x_j} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{2}{3} \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \delta_{ij} \right) + f_i \tag{15}

となります。続いて式(15)(15)の右辺第3項を展開して整理すると

∂ui∂t+uj∂ui∂xj=−1ρ∂p∂xi+χρ∂∂xi(∂uk∂xk)+μρ(∂2ui∂xj2+∂2uj∂xixj−23∂∂xi(∂uk∂xk))+fi=−1ρ∂p∂xi+χρ∂∂xi(∂uj∂xj)+μρ(∂2ui∂xj2+∂2uj∂xixj−23∂2uj∂xixj)+fi=−1ρ∂p∂xi+1ρ(χ+μ3)∂2uj∂xixj+μρ∂2ui∂xj2+fi\begin{align} \frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} &= -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\chi}{\rho} \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{\partial u_k}{\partial x_k} \right) + \frac{\mu}{\rho} \left( \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2} + \frac{\partial^2 u_j}{\partial x_i x_j} - \frac{2}{3} \frac{\partial }{\partial x_i} \left( \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \right) \right) + f_i \notag \\ &= -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\chi}{\rho} \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{\partial u_j}{\partial x_j} \right) + \frac{\mu}{\rho} \left( \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2} + \frac{\partial^2 u_j}{\partial x_i x_j} - \frac{2}{3} \frac{\partial^2 u_j}{\partial x_i x_j} \right) + f_i \notag \\ &= -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{1}{\rho}\left(\chi + \frac{\mu}{3} \right) \frac{\partial^2 u_j}{\partial x_i x_j} + \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2} + f_i \tag{16} \end{align}

式(16)(16)は粘性流体のナビエ-ストークス方程式です。この時点ではまだ圧縮性流体に対しても成立します。

そして、非圧縮流体の場合、連続の式は∂uj∂xj=0\frac{\partial u_j}{\partial x_j}=0なので、

∂ui∂t+uj∂ui∂xj=−1ρ∂p∂xi+μρ∂2ui∂xj2+fi\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2} + f_i \notag

またはベクトル表記なら

∂u∂t+u⋅∇u=−1ρ∇p+νΔu+f(18)\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \Delta \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f} \tag{18}

となり、式(1)(1)の非圧縮粘性流体のナビエ-ストークス方程式を導出できました。式(18)(18)にはもうχ\chiが現れないことから、粘性の影響はν\nuだけで表されることが特徴です。

各項の物理的意味

ナビエ-ストークス方程式の各項が何を意味するかを確認します。

∂u∂t⏟時間微分項+∂∂tu⋅∇u⏟移流項（対流項）=−1ρ∇p⏟圧力勾配項+∂∂tνΔu⏟拡散項（粘性項）+∂∂tf⏟外力項\underbrace{\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}}_{\text{時間微分項}} + \underbrace{\vphantom{\frac{\partial}{\partial t}}\boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u}}_{\text{移流項（対流項）}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho} \nabla p}_{\text{圧力勾配項}} + \underbrace{\vphantom{\frac{\partial}{\partial t}}\nu \Delta \boldsymbol{u}}_{\text{拡散項（粘性項）}} + \underbrace{\vphantom{\frac{\partial}{\partial t}}\boldsymbol{f}}_{\text{外力項}}
項物理的意味
時間微分項ある位置での時間的な速度変化。定常流では0
移流項（対流項）流体が移動することによる速度変化。非線形項であり、NS方程式が解析的に解けない原因
圧力勾配項圧力差による力。流体は高圧側から低圧側へ加速されることが、負の符号にも表れている
拡散項（粘性項）粘性による運動量の拡散。速度の空間的な「ならし」に相当する
外力項重力・電磁力などの外力

また、式(18)(18)の左辺において、DDt=∂∂t+u⋅∇\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{u} \cdot \nablaをLagrange微分や実質微分と言います。式(18)は

DuDt=−1ρ∇p+νΔu+f(19)\frac{D \boldsymbol{u}}{D t} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \Delta \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f} \tag{19}

と表され、さらに両辺にρ\rhoを掛けることで、ma=Fm \boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}と同じような構造になります。Lagrange微分形のナビエ-ストークス方程式(19)(19)は、移動するある流体塊とともに視点を動かしたときの運動方程式と見なすことができ、ナビエ-ストークス方程式も運動方程式の一種であることが理解できます。

参考図書

  • 巽友正「流体力学」（培風館）：より厳密な数学的定式化と幅広いトピックをカバーしており、大学院レベルの学習に適しています。読むには微積分、ベクトル解析の大学レベルの知識が必要です。