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流体力学基礎

2次元Poiseuille流の解析解

公開: 2026-03-30更新: 2026-03-30
2次元Poiseuille流の解析解

ナビエ-ストークス方程式は一般には解析的に解くことができません（手計算で解けない）。しかし、流れが十分に単純な場合には解析解を求めることができ、流体の運動を理解する上で非常に役立つ知見を得られます。

この記事では、非圧縮性ナビエ-ストークス方程式から出発し、2次元Poiseuille流の解析解を導きます。

ナビエ-ストークス方程式とは

非圧縮性粘性流体に対するナビエ-ストークス方程式は次の形で表されます。

∂u∂t+u⋅∇u=−1ρ∇p+νΔu+f(1)\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \Delta \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f} \tag{1}

平行流

流線がすべて定直線に平行な直線である流れを平行流といい、2次元Poiseuille流は平行流の一種です。定直線の方向に直交座標(x,y,z)(x, y, z)のxx軸を取ると、平行流の定義からその速度はu=(u,0,0)\boldsymbol{u} = (u, 0, 0)で表されます。v=w=0v=w=0、非圧縮性流体の連続の式より

∂u∂x=0(2)\frac{\partial u}{\partial x} = 0 \tag{2}

つまり、uuはxx軸方向に一定です。

また、外力がないものとすれば、v=w=0v=w=0を式(1)(1)のyy、zz成分に代入することで

∂p∂y=∂p∂z=0(3)\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial p}{\partial z} = 0 \tag{3}

となり、ppはyy軸、zz軸方向に一定です。

さらに、式(1)(1)のxx成分は式(2)(2)より

∂u∂t=−1ρ∂p∂x+ν(∂2u∂y2+∂2u∂z2)(4)\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) \tag{4}

となります。

uuを含む項はxxによらず、ppを含む項はyy、zzによらないので、これらはそれぞれ時間ttだけで表すことができるはずです。

∂u∂t−ν(∂2u∂y2+∂2u∂z2)=−1ρ∂p∂x=α(t)(5)\frac{\partial u}{\partial t} - \nu(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} = \alpha(t)\tag{5}

定常流なら、

∂2u∂y2+∂2u∂z2=1μ∂p∂x=−αν(6)\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} = -\frac{\alpha}{\nu} \tag{6}

式(6)(6)をベースに2次元Poiseuille流の解析解を導出していきます。

2次元Poiseuille流

下図のように、2枚の平面壁y=y1=−dy=y_1 = -d、y=y2 (=−y1)y=y_2\ (=-y_1)に挟まれた領域をx軸方向に流れる状況を考えます。2枚の平面壁は静止しており、流れは圧力勾配∂p/∂x\partial p / \partial xによって駆動されているとします。

このとき、z軸方向には流れは変化しないので、式(6)(6)より

∂2u∂y2=1μ∂p∂x=−αν(7)\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} = -\frac{\alpha}{\nu} \tag{7}

式(7)(7)はuu、ppの常微分方程式なので、ただちに不定積分できて

u=−α2νy2+C1y+C2p=p0−αρx\begin{align} u &= - \frac{\alpha}{2 \nu} y^2 + C_1 y + C_2 \notag \\ p &= p_0 - \alpha \rho x \notag \tag{8} \end{align}

が得られます。境界条件（y=y1y=y_1でu=0u=0、y=y2y=y_2でu=0u=0）を式(8)(8)に代入すれば

C1=0C2=α2νd2∴u=αd22ν{1−(yd)2}p=p0−−2μU0d2x\begin{align} C_1 &= 0 \notag\\ C_2 &= \frac{\alpha}{2 \nu} d^2 \notag \\ \therefore u &= \frac{\alpha d^2}{2 \nu} \left\{ 1 - \left(\frac{y}{d}\right)^2 \right\} \notag \\ p &= p_0- - \frac{2 \mu U_0}{d^2} x \tag{9} \end{align}

となり、解析解を導出できました。このような、平板に挟まれた流路を通過する流体に圧力勾配がかかっているとき、その速度分布は放物線状となります。このような、圧力勾配によって駆動され、放物線状の速度分布を持つ流れを2次元Poiseuille流と言います。

参考図書

  • 巽友正「流体力学」（培風館）：より厳密な数学的定式化と幅広いトピックをカバーしており、大学院レベルの学習に適しています。読むには微積分、ベクトル解析の大学レベルの知識が必要です。